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北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總

八年級(jí)(下冊(cè))

第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組

一. 不等關(guān)系

※1. 一般地,用符號(hào)“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式.

¤2. 要區(qū)別方程與不等式: 方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系.

※3. 準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語.

非負(fù)數(shù) <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正數(shù) <===> 不小于0

非正數(shù) <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和負(fù)數(shù) <===> 不大于0

二. 不等式的基本性質(zhì)

※1. 掌握不等式的基本性質(zhì),并會(huì)靈活運(yùn)用:

(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變,即:

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .

(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,即:

如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,

※2. 比較大小:(a、b分別表示兩個(gè)實(shí)數(shù)或整式)

一般地:

如果a>b,那么a-b是正數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么a>b;

如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a<b,那么a-b是負(fù)數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么a<b;

即:

a>b <===> a-b>0

a=b <===> a-b=0

a<b <===> a-b<0

(由此可見,要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了.

三. 不等式的解集:

※1. 能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解;一個(gè)不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.

※2. 不等式的解可以有無數(shù)多個(gè),一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù),與方程的解不同.

¤3. 不等式的解集在數(shù)軸上的表示:

用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí),要確定邊界和方向:

①邊界:有等號(hào)的是實(shí)心圓圈,無等號(hào)的是空心圓圈;

②方向:大向右,小向左

四. 一元一次不等式:

※1. 只含有一個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的次數(shù)是1. 像這樣的不等式叫做一元一次不等式.

※2. 解一元一次不等式的過程與解類似,特別要注意,當(dāng)不等式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)要改變方向.

※3. 解一元一次不等式的步驟:

①去分母;

②去括號(hào);

③移項(xiàng);

④;

⑤系數(shù)化為1(不等號(hào)的改變問題)

※4. 一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax<b)

①當(dāng)a>0時(shí),解為 ;

②當(dāng)a=0時(shí),且b<0,則x取一切實(shí)數(shù);

當(dāng)a=0時(shí),且b≥0,則無解;

③當(dāng)a<0時(shí), 解為 ;

¤5. 不等式應(yīng)用的探索(利用不等式解決實(shí)際問題)

列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似,即:

①審: 認(rèn)真審題,找出題中的不等關(guān)系,要抓住題中的關(guān)鍵字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義;

②設(shè): 設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù);

③列: 根據(jù)題中的不等關(guān)系,列出不等式;

④解: 解出所列的不等式的解集;

⑤答: 寫出答案,并檢驗(yàn)答案是否符合題意.

五. 一元一次不等式與一次函數(shù)

六. 一元一次

※1. 定義: 由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次成的不等式組,叫做一元一次不等式組.

※2. 一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個(gè)不等式組無解.

幾個(gè)不等式解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定.

※3. 解一元一次不等式組的步驟:

(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集;

(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分,即這個(gè)不等式組的解集.

兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實(shí)數(shù),且a<b)

一元一次不等式 解集 圖示 敘述語言表達(dá)

x>b 兩大取較大

x>a 兩小取小

a<x<b 大小交叉中間找

無解 在大小分離沒有解

(是空集)

第二章 分解因式

一. 分解因式

※1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

※2. 因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:

(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘,化為一個(gè)多項(xiàng)式;

(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.

二. 提公共因式法

※1. 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來,從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做.

如:

※2. 概念內(nèi)涵:

(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;

(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式;

(3)的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即:

※3. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):

(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);

(2)公因式是否提“干凈”;

(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉.

三. 運(yùn)用公式法

※1. 如果把反過來,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.

※2. 主要公式:

(1)平方差公式:

(2)完全平方公式:

¤3. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):

因式分解要分解到底.如 就沒有分解到底.

※4. 運(yùn)用公式法:

(1)平方差公式:

①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式;

②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;

③二項(xiàng)是異號(hào).

(2)完全平方公式:

①應(yīng)是三項(xiàng)式;

②其中兩項(xiàng)同號(hào),且各為一整式的平方;

③還有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍.

※5. 因式分解的思路與解題步驟:

(1)先看各項(xiàng)有沒有公因式,若有,則先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用,即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的目的;

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;

(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

四. :

※1. :利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.

如:

※2. 概念內(nèi)涵:

分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.

※3. 注意: 分組時(shí)要注意符號(hào)的變化.

五. 十字相乘法:

※1.對(duì)于二次三項(xiàng)式 ,將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積, , , 且滿足 ,往往寫成 的形式,將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解.

如:

※2. 二次三項(xiàng)式 的分解:

※3. 規(guī)律內(nèi)涵:

(1)理解:把 分解因式時(shí),如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù),那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù),它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同.

(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù),其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同,對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p.

※4. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):

(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò);

(2)分解的結(jié)果與原式不等,這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確.

第三章 分式

一. 分式

※1. 兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí),出現(xiàn)了分?jǐn)?shù);類似地,當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí),就出現(xiàn)了分式.

整式A除以整式B,可以表示成 的形式.如果除式B中含有字母,那么稱 為分式,對(duì)于任意一個(gè)分式,分母都不能為零.

※2. 整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有:

※3. 進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),常要進(jìn)行約分和通分,其主要依據(jù)是:

分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變.

※4. 一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí),可以運(yùn)用,把這個(gè)分式的分子、分母同時(shí)除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分.

二. 分式的乘除法

※1. 分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.

即: ,

※2. 分式乘方,把分子、分母分別乘方.

即:

逆向運(yùn)用 ,當(dāng)n為整數(shù)時(shí),仍然有 成立.

※3. 分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡(jiǎn)分式.

三. 分式的加減法

※1. 分式與分?jǐn)?shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

※2. 分式的加減法:

分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減.

(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減;

上述法則用式子表示是:

(2)異號(hào)分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減;

上述法則用式子表示是:

※3. 概念內(nèi)涵:

通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)分母,其方法如下:最簡(jiǎn)公分母的系數(shù),取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);最簡(jiǎn)公分母的字母,取各分母所有字母的最高次冪的積,如果分母是多項(xiàng)式,則首先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

四. 分式方程

※1. 解分式方程的一般步驟:

①在方程的兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母,約去分母,化成整式方程;

②解這個(gè)整式方程;

③把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母,看結(jié)果是不是零,使最簡(jiǎn)公母為零的根是原方程的增根,必須舍去.

※2. 列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:

①審清題意;

②設(shè)未知數(shù);

③根據(jù)題意找相等關(guān)系,列出(分式)方程;

④解方程,并驗(yàn)根;

⑤寫出答案.

第四章 相似圖形

一. 線段的比

※1. 如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB, CD的長(zhǎng)度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或?qū)懗?.

※2. 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即 ,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.

※3. 注意點(diǎn):

①a:b=k,說明a是b的k倍;

②由于線段 a、b的長(zhǎng)度都是正數(shù),所以k是正數(shù);

③比與所選線段的長(zhǎng)度單位無關(guān),求出時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位要一致;

④除了a=b之外,a:b≠b:a, 與 互為倒數(shù);

⑤比例的基本性質(zhì):若 , 則ad=bc; 若ad=bc, 則

二. 黃金分割

※1. 如圖1,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 ,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.

※2.黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點(diǎn).

四. 相似多邊形

¤1. 一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.

※2. 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

五. 相似三角形

※1. 在相似多邊形中,最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的就是相似三角形.

※2. 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

※3. 全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于1. 注意:證兩個(gè)相似三角形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.

※4. 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

※5. 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

※6. 相似三角形面積的比等于相似比的平方.

六.探索三角形相似的條件

※1. 相似三角形的判定方法:

一般三角形 直角三角形

基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.

①兩角對(duì)應(yīng)相等;

②兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等;

③三邊對(duì)應(yīng)成比例. ①一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等;

②兩條邊對(duì)應(yīng)成比例:

a. 兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例;

b. 斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例.

※2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

如圖2, l1 // l2 // l3,則 .

※3. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

八. 相似的多邊形的性質(zhì)

※相似多邊形的周長(zhǎng)等于相似比;面積比等于相似比的平方.

九. 圖形的放大與縮小

※1. 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形; 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心; 這時(shí)的相似比又稱為位似比.

※2. 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.

◎3. 位似變換:

①變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.

②一個(gè)圖形經(jīng)過位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形.

③利用位似的方法,可以把一個(gè)圖形放大或縮小.

第五章 數(shù)據(jù)的收集與處理

一. 每周干家務(wù)活的時(shí)間

※1. 所要考察的對(duì)象的全體叫做總體;

把組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體;

從總體中取出的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本.

※2. 為一特定目的而對(duì)所有考察對(duì)象作的全面調(diào)查叫做普查;

為一特定目的而對(duì)部分考察對(duì)象作的調(diào)查叫做抽樣調(diào)查.

二. 數(shù)據(jù)的收集

※1. 抽樣調(diào)查的特點(diǎn): 調(diào)查的范圍小、節(jié)省時(shí)間和人力物力優(yōu)點(diǎn).但不如普查得到的調(diào)查結(jié)果精確,它得到的只是估計(jì)值.

而估計(jì)值是否接近實(shí)際情況還取決于樣本選得是否有代表性.

第六章 證明(一)

二. 定義與命題

※1. 一般地,能明確指出概念含義或特征的句子,稱為定義.

定義必須是嚴(yán)密的.一般避免使用含糊不清的術(shù)語,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn).

※2. 可以判斷它是正確的或是錯(cuò)誤的句子叫做命題.

正確的命題稱為真命題,錯(cuò)誤的命題稱為假命題.

※3. 數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的,并且把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫做公理.

※4. 有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā),用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù),這樣的真命題叫做定理.

¤5. 根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等,經(jīng)過邏輯推理,來判斷一個(gè)命題是否正確,這樣的推理過程叫做證明.

三. 為什么它們平行

※1. 平行判定公理: 同位角相等,兩直線平行.(并由此得到平行的判定定理)

※2. 平行判定定理: 同旁內(nèi)互補(bǔ),兩直線平行.

※3. 平行判定定理: 同錯(cuò)角相等,兩直線平行.

四. 如果兩條直線平行

※1. 兩條直線平行的性質(zhì)公理: 兩直線平行,同位角相等;

※2. 兩條直線平行的性質(zhì)定理: 兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;

※3. 兩條直線平行的性質(zhì)定理: 兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).

五. 三角形和定理的證明

※1. 三角形內(nèi)角和定理: 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

¤2. 一個(gè)三角形中至多只有一個(gè)直角

¤3. 一個(gè)三角形中至多只有一個(gè)鈍角

¤4. 一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角

六. 關(guān)注三角形的外角

※1. 三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論:

推論1: 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;

推論2: 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

（注：※表示重點(diǎn)部分；¤表示了解部分；◎表示僅供參閱部分；）

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